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\documentclass[oneside,a4paper,portuguese,links]{EngUCP}
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\usepackage{graphicx}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{amsmath,amsfonts}

\pagestyle{empty}                   %/// TIRA A PAGINA\c{C}\~{A}O DO ARQUIVO!!!

\title{VALIDA\c{C}\~{A}O DO M\'{E}TODO ESTOC\'{A}STICO R2W NA OBTEN\c{C}\~{A}O DE \'{O}TIMOS GLOBAIS DE FUNÇÕES N\~{A}O-LINEARES}

\author[\voidaffil]{Melicia A. C. Ribeiro}
\author[\voidaffil]{Le\^{o}ncio Di\'{o}genes T. C\^{a}mara}
\author[\voidaffil]{Ant\^{o}nio Jos\'{e} da Silva Neto}
%
\affil[\voidaffil]{Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Polit\'{e}cnico, Nova Friburgo - RJ, 28630-050,  Brasil }


\begin{document}
\vspace{3cm}
\maketitle

\let\oldthefootnote\thefootnote
\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
\footnotetext[1]{ E-mail addresses: \url{macribeiro@iprj.uerj.br},\url{dcamara@iprj.uerj.br}, \url{ajsneto@iprj.uerj.br} .}
\let\thefootnote\oldthefootnote


\begin{keywords}
Otimiza\c{c}\~{a}o, M\'{e}todos Estoc\'{a}sticos, Luus-Jaakola, R2W.
\end{keywords}

\begin{abstract}
A otimiza\c{c}\~{a}o \'{e} uma t\'{e}cnica conhecida h\'{a} mais de um s\'{e}culo, sendo utilizada em v\'{a}rias \'{a}reas como f\'{\i}sica, matem\'{a}tica e engenharia, dentre outras. Tal t\'{e}cnica possibilita melhorar o que j\'{a} existe, e tamb\'{e}m projetar o novo com mais efic\'{a}cia e menor custo. Os problemas de otimiza\c{c}\~{a}o visam maximizar ou minimizar uma fun\c{c}\~{a}o matem\'{a}tica, sujeita ou n\~{a}o a um conjunto de restri\c{c}\~{o}es, cuja solu\c{c}\~{a}o pode ser obtida atrav\'{e}s de m\'{e}todos determin\'{\i}sticos, estoc\'{a}sticos ou h\'{\i}bridos. A aplica\c{c}\~{a}o dos m\'{e}todos estoc\'{a}sticos vem aumentando nos \'{u}ltimos anos, demonstrando o seu potencial no estudo e an\'{a}lise dos v\'{a}rios sistemas em aplica\c{c}\~{o}es de engenharia. Neste trabalho foram adotados os m\'{e}todos estoc\'{a}sticos LJ e R2W na obten\c{c}\~{a}o dos \'{o}timos de equa\c{c}\~{o}es n\~{a}o-lineares. Para isso, os referidos m\'{e}todos foram implementados na Linguagem de Programa\c{c}\~{a}o C, cujo objetivo \'{e} realizar um comparativo dos resultados atingidos pelo novo m\'{e}todo de otimiza\c{c}\~{a}o R2W com os resultados obtidos pelo cl\'{a}ssico algoritmo LJ criado h\'{a} aproximadamente $40$ anos.
\end{abstract}

\section{INTRODU\c{C}\~{A}O}

No dia a dia, muitas pessoas se deparam com situa\c{c}\~{o}es que envolvem tomadas de decis\~{o}es nos mais diversos campos \cite{SAR2003}, tomar a decis\~{a}o que gere a solu\c{c}\~{a}o ideal nem sempre \'{e} f\'{a}cil. Matematicamente, solucionar problemas desse tipo \'{e} resolver um problema de otimiza\c{c}\~{a}o \cite{RIB2012}.

As t\'{e}cnicas de otimiza\c{c}\~{a}o s\~{a}o conhecidas por mais de um s\'{e}culo e s\~{a}o utilizadas na resolu\c{c}\~{a}o de problemas de engenharia \cite{LUU1973, SIL2003, LOB2008}, f\'{\i}sica \cite{SAR2003}, administra\c{c}\~{a}o, log\'{\i}stica, transporte, economia \cite{BRA2011}, biologia, dentre outras ci\^{e}ncias. Tais t\'{e}cnicas possibilitam melhorar o que j\'{a} existe, e tamb\'{e}m projetar o novo com mais efic\'{a}cia e menor custo \cite{SAR2003}.

O avan\c{c}o tecnol\'{o}gico ocorrido nos \'{u}ltimos anos tem alavancado o crescimento das t\'{e}cnicas de otimiza\c{c}\~{a}o. Um algoritmo de otimiza\c{c}\~{a}o tem por meta otimizar uma fun\c{c}\~{a}o objetivo que podem possuir m\'{u}ltiplas vari\'{a}veis e que satisfa\c{c}a todas as restri\c{c}\~{o}es estabelecidas \cite{SAR2003,SIL2003}, sendo a solu\c{c}\~{a}o de tais fun\c{c}\~{o}es obtidas atrav\'{e}s de m\'{e}todos determin\'{\i}sticos (baseado no gradiente) e estoc\'{a}sticos (busca aleat\'{o}ria) \cite{SAR2003}. Tamb\'{e}m h\'{a} a possibilidade de realizar hibridiza\c{c}\~{a}o entre os m\'{e}todos estoc\'{a}sticos com m\'{e}todos determin\'{\i}sticos \cite{SIL2003}, na qual o primeiro realiza um pequeno n\'{u}mero de itera\c{c}\~{o}es de modo a encontrar uma estimativa inicial para ser explorada pelo segundo m\'{e}todo \cite{RIB2012}.

H\'{a} na literatura diversos de m\'{e}todos de otimiza\c{c}\~{a}o \cite{SAR2003, SIL2003, CAM2008, BRA2011, LUU1973}, mas, ainda h\'{a} centenas de problemas sem solu\c{c}\~{a}o, sendo que nem sempre um m\'{e}todo consegue alcan\c{c}ar o resultado de um problema desejado \cite{SIL2003, BRA2011}. Al\'{e}m disso, sempre que se prop\~{o}em um novo m\'{e}todo de otimiza\c{c}\~{a}o \'{e} de praxe realizar testes atrav\'{e}s de fun\c{c}\~{o}es matem\'{a}ticas cl\'{a}ssicas para verificar a robustez do novo m\'{e}todo de otimiza\c{c}\~{a}o \cite{RIB2012}.

O m\'{e}todo de otimiza\c{c}\~{a}o R2W foi proposto por C\^{a}mara e Silva Neto \cite{CAM2008} em 2008, na solu\c{c}\~{a}o de problemas inversos em transfer\^{e}ncia de massa, envolvendo a adsor\c{c}\~{a}o de biomoleculares. Durante as pesquisas realizadas sobre o referido m\'{e}todo, verificou-se que os testes que visa analisar a efic\'{a}cia de um m\'{e}todo de otimiza\c{c}\~{a}o n\~{a}o haviam sido realizados at\'{e} ent\~{a}o. Por esse motivo, foram selecionadas seis fun\c{c}\~{o}es matem\'{a}ticas cl\'{a}ssicas \cite{MOL2005}, com caracter\'{\i}sticas distintas, cujo objetivo foi a obten\c{c}\~{a}o dos m\'{\i}nimos globais das mesmas atrav\'{e}s dos j\'{a} citados m\'{e}todos estoc\'{a}sticos. Al\'{e}m disso, como a solu\c{c}\~{a}o anal\'{\i}tica de tais fun\c{c}\~{o}es \'{e} conhecida, disponibilizada na pesquisa realizada por Molga \cite{MOL2005}, foi poss\'{\i}vel realizar um comparativo entre as solu\c{c}\~{o}es num\'{e}rica e anal\'{\i}tica, cujo objetivo foi verificar qual dentre os m\'{e}todos de otimiza\c{c}\~{a}o estudado atingir\'{a} valores mais pr\'{o}ximos da solu\c{c}\~{a}o anal\'{\i}tica.\\


\section{FORMULA\c{C}\~{A}O MATEM\'{A}TICA}

\subsection{Caracteriza\c{c}\~{a}o do Problema}

Existem v\'{a}rias classes de fun\c{c}\~{o}es de teste \cite{MOL2005}, sendo que todas as fun\c{c}\~{o}es analisadas nesse trabalho s\~{a}o cont\'{\i}nuas e com caracter\'{\i}sticas diversificadas, tais como: unimodal, convexo, multidimensional; multimodal, bidimensional e com um pequeno n\'{u}mero de extremos locais e multimodal, bidimensional e com grande n\'{u}mero de extremos locais.

Segue abaixo as seis fun\c{c}\~{o}es de otimiza\c{c}\~{a}o analisadas nesse estudo.

\begin{equation}
f_1(x_1, x_2) = x_1^4+x_2^4-3
\label{eq1}
\end{equation}

\begin{equation}
f_2(x_1, x_2) = 20+(x_1^2-10\cos(2\pi x_1))+(x_2^2-10\cos(2\pi x_2))
\label{eq2}
\end{equation}

\begin{equation}
f_3(x_1, x_2) = (4-2,1x_1^2+\frac{x_1^4}{3})x_1^2+x_1x_2+(4x_2^2-4)x_2^2
\label{eq3}
\end{equation}

\begin{equation}
f_4(x_1, x_2) = -x_1\sin(\sqrt{|x_1|})-x_2\sin(\sqrt{|x_2|})
\label{eq4}
\end{equation}

\begin{equation}
f_5(x_1, x_2) = \frac{x_1^2}{4000}+\frac{x_1^2}{4000}-(\cos(\frac{x_1}{\sqrt{1}}))(\cos(\frac{x_2}{\sqrt{2}}))+1
\label{eq5}
\end{equation}

\begin{equation}
f_6(x_1, x_2) = (x_2-\frac{5,1}{4\pi^2}x_1^2+\frac{5}{\pi}x_1-6)^2+10(1-\frac{1}{8\pi})\cos(x_1)+10
\label{eq6}
\end{equation}\\

A Tabela ~\ref{tab1} apresenta os dom\'{\i}nios adotados nas simula\c{c}\~{o}es computacionais na obten\c{c}\~{a}o das vari\'{a}veis desejadas.

\begin{table}[!ht]
\centering
\caption{Intervalos de busca adotados nas simula\c{c}\~{o}es computacionais realizadas. }
\small
\begin{tabular}{c|c|c}
\hline  Fun\c{c}\~{o}es & $x_{1}$ & $x_{2}$\\
\hline
\hline
 \textrm {$1$} & $-3,0 \leq x_{1} \leq 3,0$ & $-3,0 \leq x_{2} \leq 3,0$ \\
\hline
 \textrm {$2$} & $-4,0 \leq x_{1} \leq 4,0$ & $-4,0 \leq x_{2} \leq 4,0$ \\
\hline
 \textrm {$3$} & $-3,0 \leq x_{1} \leq 3,0$ & $-2,0 \leq x_{2} \leq 2,0$ \\
\hline
 \textrm {$4$} & $-500,0 \leq x_{1} \leq 500,0$ & $-500,0 \leq x_{2} \leq 500,0$ \\
\hline
 \textrm {$5$} & $-600,0 \leq x_{1} \leq 600,0$ & $-600,0 \leq x_{2} \leq 600,0$ \\
\hline
 \textrm {$6$} & $-5,0 \leq x_{1} \leq 10,0$ & $0,0 \leq x_{2} \leq 15,0$ \\
\hline
\end{tabular}
\label{tab1}
\end{table}


\section{ALGORITMO DE OTIMIZA\c{C}\~{A}O}

Os m\'{e}todos de otimiza\c{c}\~{a}o buscam determinar o valor m\'{a}ximo ou m\'{\i}nimo de uma fun\c{c}\~{a}o matem\'{a}tica, sujeita ou n\~{a}o a um conjunto de restri\c{c}\~{o}es de igualdade, desigualdade e laterais \cite{SAR2003}. A seguir \'{e} apresentada uma pequena descri\c{c}\~{a}o dos m\'{e}todos aleat\'{o}rios ou estoc\'{a}sticos utilizados no presente trabalho.

\subsection{M\'{e}todo Luus-Jaakola}

O m\'{e}todo estoc\'{a}stico Luus-Jaakola (LJ) foi proposto, em 1973, por Rein Luus e T.H.I. Jaakola, cujo objetivo era criar uma t\'{e}cnica que permitisse a qualquer pessoa interessada na otimiza\c{c}\~{a}o de sistemas a sua utiliza\c{c}\~{a}o. Al\'{e}m da facilidade de implementa\c{c}\~{a}o, outra preocupa\c{c}\~{a}o era desenvolver um procedimento que pudesse ser aplicado a qualquer regi\~{a}o de interesse e para quaisquer tipos de fun\c{c}\~{o}es. \'{E} um m\'{e}todo de pesquisa aleat\'{o}ria muitas vezes utilizado na resolu\c{c}\~{a}o de problemas de programa\c{c}\~{a}o n\~{a}o-lineares \cite{LUU1973}, tais como problemas de engenharia qu\'{\i}mica \cite{LOB2008,BIH2012,RIB2013}.

A ideia central desse m\'{e}todo \'{e} considerar uma regi\~{a}o ampla que englobe os poss\'{\i}veis valores das vari\'{a}veis, valores fact\'{\i}veis, e geram-se solu\c{c}\~{o}es aleat\'{o}rias enquanto a regi\~{a}o de busca \'{e} reduzida ao longo das itera\c{c}\~{o}es \cite{LOB2008}. O processo \'{e} repetido $n_{out}$ vezes a fim de determinar um intervalo suficientemente pequeno o qual contenha a solu\c{c}\~{a}o \'{o}tima \cite{RIB2012}.

Pode-se visualizar na Fig.~\ref{fig1} o pseudoc\'{o}digo do m\'{e}todo LJ modificado e que hoje \'{e} comumente utilizado.

\noindent\rule{16cm}{0.1pt}
\vspace*{-0.3cm}
\centerline {\bf Luus-Jaakola}
\noindent\rule{16cm}{0.1pt}\\
\vspace*{-0.1cm}
Inicializar o espa\c{c}o de busca inicial $r^{(0)}$, n\'{u}mero de loops externos $n_{out}$, n\'{u}mero de loops internos $n_{int}$ e coeficiente de contra\c{c}\~{a}o $\varepsilon$.\\
Gere randomicamente a estimativa inicial $X^*$.\\
{\bf for} i = 1 até $n_{out}$\\
    \indent {\bf for} j = 1 até $n_{int}$\\
        \indent \indent $X^{(j)} = X^*+R^{(j)}r^{(i-1)}$, onde $R^{(j)}$ \'{e} matriz diagonal de n\'{u}meros aleat\'{o}rios $[-0,5; 0,5]$.\\
		  \indent \indent {\bf if} ($Fitness(X^{(j)}) < Fitness(X^*)$), {\bf then}\\
            \indent \indent \indent $X^*=X^{(j)}$\\
          \indent \indent {\bf end if}\\
    \indent {\bf end for}\\
	\indent \indent $r^{(i)} = (1-\varepsilon) r^{(i-1)}$\\
\vspace*{-0.2cm}
{\bf  end for}\\
\vspace*{-0.2cm}
\noindent\rule{16cm}{0.1pt}			
\vspace*{-0.9cm}
\begin{figure}[!ht]
\centering %
\caption{Pseudoc\'{o}digo do algoritmo Luus-Jaakola modificado.}
\vspace*{-0.2cm}{Fonte: Ribeiro, 2012 \cite{RIB2012}.}%
\label{fig1}
\end{figure}
\vspace*{-0.4cm}

\subsection{M\'{e}todo R2W}

O m\'{e}todo {\it Random Restricted Window} (R2W) foi proposto por C\^{a}mara e Silva Neto (2008) para a solu\c{c}\~{a}o de problemas inversos em transfer\^{e}ncia de massa formulados implicitamente \cite{CAM2008}.

O R2W \'{e} um m\'{e}todo b\'{a}sico que analisa a melhor solu\c{c}\~{a}o ($\vec{\zeta}^*$) de uma fun\c{c}\~{a}o n\~{a}o-linear a partir de estimativas de par\^{a}metros aleat\'{o}rios pertencentes a um dom\'{\i}nio pr\'{e}-estabelecido $[\vec{\zeta}_{L}, \vec{\zeta}_{H}]$, podendo utilizar mais de uma fase de pesquisa ($\psi$) para refinar a solu\c{c}\~{a}o desejada \citep{RIB2012b}. As estimativas dos par\^{a}metros aleat\'{o}rios s\~{a}o geradas de acordo com o n\'{u}mero de sementes pr\'{e}-estabelecidas $(S)$.

Na Fig.~\ref{fig2} \'{e} poss\'{\i}vel visualizar o pseudoc\'{o}digo do m\'{e}todo de otimiza\c{c}\~{a}o R2W.

\noindent\rule{16cm}{0.1pt}
\vspace*{-0.3cm}
\centerline {\bf R2W}
\noindent\rule{16cm}{0.1pt}
Inicializar o domínio de pesquisa $[\vec{\zeta}^{(0)}_{L}, \vec{\zeta}_{H}^{(0)}]$, o n\'{u}mero de fases $\psi$, o n\'{u}mero de sementes \emph{S} e o fator de escala de busca $\delta$.\\
{\bf for} i = 1 até $\psi$\\
    \indent $\vec{R}^{(i-1)}=\vec{\zeta}_H^{(i-1)}-\vec{\zeta}_L^{(i-1)}$;\\
	\indent {\bf for} j = 1 até $\it S$\\
	\indent \indent $\vec{\zeta}^{(j)}=\vec{\zeta}^{(i-1)}_{L}+\vec r~\vec{R}^{(i-1)}$, onde $\vec{\zeta}^{(i-1)}_{L}$ é o  limite inferior da região de busca  $\vec{R}^{(i-1)}$ e\\
    \indent \indent \indent \indent \indent \indent \indent \indent \indent \indent $\vec{r}$ o vetor de aleatórios entre $[0,0;1,0]$.\\
	\indent {\bf end for}\\								
  \indent $\vec{\zeta}^{(i)}_{L} = \vec{\zeta}^*-\delta\mid{\vec{\zeta}^*}\mid$, \indent onde $\vec{\zeta}^{(i)}_{L}$ e $\vec{\zeta}^{(i)}_{H}$ s\~{a}o os limites do novo intervalo de busca e \\
  \indent $\vec{\zeta}^{(i)}_{H} = \vec{\zeta}^*+\delta\mid{\vec{\zeta}^*}\mid$, \indent $\vec{\zeta}^*$ \'{e} a melhor solução encontrada anteriormente.\\
\vspace*{-0.2cm}
{\bf  end for}\\
\noindent\rule{16cm}{0.1pt}
\vspace*{-0.8cm}
\begin{figure}[!ht]
\centering %
\caption{Pseudoc\'{o}digo do algoritmo R2W.}
\vspace*{-0.2cm}{Fonte: Ribeiro, 2012 \citep{RIB2012}.}%
\label{fig2}
\end{figure}


\section{RESULTADOS E DISCUSS\~{O}ES}

As rotinas para c\'{a}lculo dos \'{o}timos das fun\c{c}\~{o}es matem\'{a}ticas analisadas, Eqs.~(\ref{eq1}) \`{a} ~(\ref{eq6}), foram implementadas na linguagem de programa\c{c}\~{a}o C, sendo as simula\c{c}\~{o}es computacionais rodadas numa m\'{a}quina de processador Intel Core 2 Duo CPU @2.53 GHz com 4 GB de mem\'{o}ria. Al\'{e}m disso, todas as figuras foram implementadas no software Matlab R2009a e rodadas na mesma m\'{a}quina indicada anteriormente.

Objetivando uma an\'{a}lise qualitativa, foram utilizados diferentes conjuntos de par\^{a}metros respeitando as caracter\'{\i}sticas de cada m\'{e}todo. Ap\'{o}s a varia\c{c}\~{a}o dos mesmos, optou-se pelo conjunto que apresentou resultados com uma melhor acur\'{a}cia. Al\'{e}m disso, foram realizadas $50$ corridas por cada m\'{e}todo num\'{e}rico e foi adotado como crit\'{e}rio de parada o valor a alcan\c{c}ar de $10^{-5}$ entre a solu\c{c}\~{a}o anal\'{\i}tica e o melhor valor alcan\c{c}ado na simula\c{c}\~{a}o computacional ou $15000$ chamadas da fun\c{c}\~{a}o objetivo que \'{e} o total de itera\c{c}\~{o}es poss\'{\i}vel de ser realizada em cada simula\c{c}\~{a}o num\'{e}rica por cada m\'{e}todo estoc\'{a}stico. Para que fosse fornecida a mesma estimativa inicial para ambos algoritmos, a mesma semente $20$ foi passada, sendo que a cada nova simula\c{c}\~{a}o foi adicionada uma unidade a semente da simula\c{c}\~{a}o anterior, tudo isso com o intuito de encontrar o \'{o}timo global das fun\c{c}\~{o}es descritas na se\c{c}\~{a}o $2.1$.

A zona azul escuro das Figs.~\ref{fig1} at\'{e} ~\ref{fig6} representa os menores valores da fun\c{c}\~{a}o objetivo indicadas pelas Eqs.~(\ref{eq1}) \`{a} ~(\ref{eq6}), ou seja, os pontos mais pertos ao m\'{\i}nimo global, enquanto que a regi\~{a}o vermelha representa os valores mais alto da fun\c{c}\~{a}o objetivo, consequentemente, \'{e} nessa regi\~{a}o que se encontram os valores mais distantes do m\'{\i}nimo global.

Nas Tabelas ~\ref{tab2} \`{a} ~\ref{tab7} h\'{a} um resumo {\it(R)} dos valores encontrados nas simula\c{c}\~{o}es computacionais, em que {\it M, P, $\mu$, Med, $\sigma$} e {\it $\sigma^{2}$}, representam, respectivamente, melhor, pior, m\'{e}dia aritm\'{e}tica, mediana, vari\^{a}ncia e desvio padr\~{a}o dos resultados atingidos.

A Fig.~\ref{fig3} demonstra o comportamento da fun\c{c}\~{a}o 1 obtida atrav\'{e}s da Eq.~(\ref{eq1}). Trata-se de uma fun\c{c}\~{a}o simples, convexa e unimodal, cujo m\'{\i}nimo global $f_1(x_1,x_2) = -3,0$ \'{e} obtido no ponto $(x_1, x_2) = 0,0$. Na Tabela ~\ref{tab2}, verifica-se que ambos os m\'{e}todos atingiram ao m\'{\i}nimo global sem utilizarem o total de n\'{u}mero de avalia\c{c}\~{a}o da fun\c{c}\~{a}o objetivo {\it(NAF)}.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\subfigure{\includegraphics[scale=0.45]{F1.ps}}
\hspace{-0.1cm}%
\subfigure{\includegraphics[scale=0.45]{CN1.ps}}
\vspace*{-0.4cm}
\caption{Gr\'{a}ficos demonstrativo do comportamento da Fun\c{c}\~{a}o $1$ e suas respectivas curvas de n\'{\i}vel.}
\label{fig3}
\end{figure}

\begin{table}[!ht]
\centering
\caption{Resultados obtidos nas simula\c{c}\~{o}es computacionais com a Fun\c{c}\~{a}o $1$ atrav\'{e}s dos m\'{e}todos R2W e LJ.}
\small
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline \multicolumn{5}{c|}{R2W} &  \multicolumn{4}{c}{LJ}\\
\hline
 R & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF\\
\hline
\hline
 M & 1,12E-02 & -1,90E-02 & -3,00E+00 & 3000  & 2,05E-02 & 2,01E-03 & -3,00E+00 & 348\\
\hline
 P & -2,13E-02 & -5,48E-02 & -3,00E+00 & 3000  & 5,13E-02 & 4,04E-02 & -3,00E+00 & 747\\
 \hline
 $\mu$ & -1,54E-03 & -1,96E-03 & -3,00E+00 & 3180  & 6,80E-03 & 4,31E-03 & -3,00E+00 & 791\\
\hline
 Med & -6,60E-03 & -6,16E-03 & -3,00E+00 & 3000  & 8,59E-03 & 4,78E-03 & -3,00E+00 & 803\\
 \hline
  $\sigma$ & 6,16E-04 & 5,81E-04 & 5,59E-12 & - & 7,47E-04 & 1,13E-03 & 8,22E-12 & - \\
\hline
 $\sigma^{2}$ & 2,48E-02 & 2,41E-02 & 2,37E-06 & - & 2,73E-02 & 3,36E-02 & 2,87E-06 & - \\
\hline
\end{tabular}
\label{tab2}
\end{table}

A fun\c{c}\~{a}o $2$ \'{e} obtida atrav\'{e}s da Eq.~(\ref{eq2}), seu comportamento pode ser visto na Fig.~\ref{fig4}. A fun\c{c}\~{a}o $2$ \'{e} convexa e altamente multimodal, entretanto, seus m\'{\i}nimos locais s\~{a}o regularmente distribu\'{\i}dos e o m\'{\i}nimo global $f_2(x_1,x_2) = 0,0$ est\'{a} localizado em $(x_1, x_2) = (0,0; 0,0)$.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\subfigure{\includegraphics[scale=0.45]{F2.ps}}
\hspace{-0.1cm}%
\subfigure{\includegraphics[scale=0.45]{CN2.ps}}
\vspace*{-0.4cm}
\caption{Gr\'{a}ficos demonstrativo do comportamento da Fun\c{c}\~{a}o 2 e suas respectivas curvas de n\'{\i}vel.}
\label{fig4}
\end{figure}

A Tabela ~\ref{tab3} indica que ambos m\'{e}todos analisados obtiveram como a melhor solu\c{c}\~{a}o o m\'{\i}nimo global. Entre todas as simula\c{c}\~{o}es realizadas com a fun\c{c}\~{a}o $2$, aquela que obteve o pior resultado encontrou um dos poss\'{\i}veis m\'{\i}nimos locais. Al\'{e}m disso, o algoritmo LJ alcan\c{c}ou em $86\%$ das simula\c{c}\~{o}es computacionais o m\'{\i}nimo global, j\'{a} o R2W encontrou o m\'{\i}nimo global em $66\%$ dos testes realizados.

\begin{table}[!ht]
\centering
\caption{Resultados obtidos nas simula\c{c}\~{o}es computacionais com a Fun\c{c}\~{a}o 2 atrav\'{e}s dos m\'{e}todos R2W e LJ.}
\small
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline \multicolumn{5}{c|}{R2W} &  \multicolumn{4}{c}{LJ}\\
\hline
 R & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF\\
\hline
\hline
 M & 4,40E-05 & -1,40E-05 & 0,00E+00 & 15000 & 2,00E-05 & 7,00E-06 & 0,00E+00 & 4760\\
\hline
 P & 1,31E-03 & -9,95E-01 & 9,95E-01 & 15000 & -9,95E-01 & 0,00E+00 & 9,95E-01 & 15000\\
 \hline
 $\mu$ & 1,99E-02 & -7,06E-05 & 3,38E-01 & 14700 & -3,98E-02 & -1,99E-02 & 1,39E-01 & 6044\\
\hline
 Med & 3,75E-05 & -3,80E-05 & 4,00E-06 & 15000 & -3,40E-05 & 0,00E+00 & 6,00E-06 & 4718 \\
 \hline
  $\sigma$ & 1,81E-01 & 1,62E-01 & 2,27E-01 & - & 7,92E-02 & 6,02E-02 & 1,22E-01 & - \\
\hline
 $\sigma^{2}$ & 4,26E-01 & 4,02E-01 & 4,76E-01 & - & 2,81E-01 & 2,45E-01 & 3,49E-01 & -\\
\hline
\end{tabular}
\label{tab3}
\end{table}

A fun\c{c}\~{a}o $3$ \'{e} obtida atrav\'{e}s da Eq.~(\ref{eq3}), seu comportamento pode ser visto na Fig.~\ref{fig5}. Dentro da regi\~{a}o de busca analisada, vide Tabela ~\ref{tab1}, h\'{a} seis pontos de m\'{\i}nimos locais, sendo que dois desses pontos, $(x_1, x_2) = (-0,0898;0,7126)$ e $(x_1, x_2) = (0,0898;-0,7126)$, levam ao m\'{\i}nimo global $f_3(x_1,x_2) = -1,0316$.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\subfigure{\includegraphics[scale=0.45]{F3.ps}}
\hspace{-0.1cm}%
\subfigure{\includegraphics[scale=0.45]{CN3.ps}}
\vspace*{-0.4cm}
\caption{Gr\'{a}ficos demonstrativo do comportamento da Fun\c{c}\~{a}o 3 e suas respectivas curvas de n\'{\i}vel.}
\label{fig5}
\end{figure}

A Tabela ~\ref{tab4} mostra os resultados atingidos pela fun\c{c}\~{a}o $3$, sendo que os valores demonstrados no caso $1$ est\~{a}o relacionados ao extremo $ (-0,0898; 0,7126)$. Nas simula\c{c}\~{o}es realizadas, o ponto m\'{\i}nimo indicado no caso $1$ foi alcan\c{c}ado em $52\%$ e $54\%$ pelos algoritmos R2W e LJ, respectivamente. J\'{a} o outro extremo que leva ao \'{o}timo global e \'{e} indicado no caso $2$ trata-se do ponto m\'{\i}nimo $(0,0898; -0,7126)$, sendo esse extremo alcan\c{c}ado apenas em $48\%$ e $46\%$ das simula\c{c}\~{o}es num\'{e}ricas atrav\'{e}s dos m\'{e}todos R2W e LJ. Ao analisar a vari\^{a}ncia e o desvio padr\~{a}o, percebe-se que n\~{a}o houveram varia\c{c}\~{o}es bruscas nos resultados obtidos nas simula\c{c}\~{o}es num\'{e}ricas realizadas.

\begin{table}[!ht]
\centering
\caption{Resultados obtidos nas simula\c{c}\~{o}es computacionais com a Fun\c{c}\~{a}o 3 atrav\'{e}s dos m\'{e}todos R2W e LJ, onde o \'{o}timo global $f_3(x_{1}; x_{2}) = -1,0316$ est\'{a} localizado nos pontos descritos nos casos 1 e 2.}
\small
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline \multicolumn{5}{c|}{R2W} &  \multicolumn{4}{c}{LJ}\\
\hline
 R & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF\\
\hline
\hline
\multicolumn{9}{c}{\bf Caso 1: $f(-0,0898; 0,7126) = -1,0316$}\\
\hline
 M & -8,95E-02 & 7,11E-01 & -1,03E+00 & 12000 & -8,98E-02 & 7,13E-01 & -1,03E+00 & 15000\\
\hline
 P & -8,54E-02 & 7,15E-01 & -1,03E+00 & 15000 & -8,70E-02 & 7,13E-01 & -1,03E+00 & 2728\\
 \hline
 $\mu$ & -9,03E-02 & 7,13E-01 & -1,03E+00 & 12000 & -8,94E-02 & 7,13E-01 & -1,03E+00 & 7778\\
\hline
 Med & -8,97E-02 & 7,14E-01 & -1,03E+00 & 12000 & -8,98E-02 & 7,13E-01 & -1,03E+00 & 3197\\
 \hline
  $\sigma$ & 7,93E-06 & 3,36E-06 & 2,55E-09 & - & 2,41E-06 & 8,37E-07 & 2,10E-10 & -\\
\hline
 $\sigma^{2}$ & 2,82E-03 & 1,83E-03 & 5,05E-05 & - & 1,55E-03 & 9,15E-04 & 1,45E-05 & - \\
\hline
\multicolumn{9}{c}{\bf Caso 2: $f(0,0898; -0,7126) = -1,0316$}\\
\hline
 M & 8,91E-02 & -7,11E-01 & -1,03E+00 & 12000 & 8,98E-02 & -7,13E-01 & -1,03E+00 & 15000\\
\hline
 P & 9,82E-02 & -7,14E-01 & -1,03E+00 & 15000 & 9,25E-02 & -7,12E-01 & -1,03E+00 & 2598\\
 \hline
 $\mu$ & 9,07E-02 & -7,13E-01 & -1,03E+00 & 12625 & 9,02E-02 & -7,13E-01 & -1,03E+00 & 5950\\
\hline
 Med & 9,05E-02 & -7,13E-01 & -1,03E+00 & 15000 & 8,98E-02 & -7,13E-01 & -1,03E+00 & 2993\\
 \hline
  $\sigma$ & 7,42E-06 & 3,43E-06 & 3,43E-09 & - & 1,65E-06 & 1,83E-06 & 1,94E-10 & -\\
\hline
 $\sigma^{2}$ & 2,72E-03 & 1,85E-03 & 5,86E-05 & - & 1,29E-03 & 1,35E-03 & 1,39E-05 & -\\
\hline
\end{tabular}
\label{tab4}
\end{table}

O perfil da fun\c{c}\~{a}o $4$ alcan\c{c}ado pela Eq.~(\ref{eq4}) \'{e} apresentado na Fig.~\ref{fig6}. Esta fun\c{c}\~{a}o \'{e} complexa, com muitos m\'{\i}nimo locais geometricamente distantes. Devido a esse fato, os algoritmos de busca s\~{a}o potencialmente propensos a converg\^{e}ncia \`{a} dire\c{c}\~{a}o errada, acarretando seguir em dire\c{c}\~{a}o a um dos extremos locais.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\subfigure{\includegraphics[scale=0.45]{F4.ps}}
\hspace{-0.1cm}%
\subfigure{\includegraphics[scale=0.45]{CN4.ps}}
\vspace*{-0.4cm}
\caption{Gr\'{a}ficos demonstrativo do comportamento da Fun\c{c}\~{a}o 4 e suas respectivas curvas de n\'{\i}vel.}
\label{fig6}
\end{figure}

Verifica-se na Tabela ~\ref{tab5} que o algoritmo LJ convergiu para a dire\c{c}\~{a}o errada na grande maioria das corridas realizadas, isto corresponde a $98\%$ das simula\c{c}\~{o}es computacionais. Em contra partida, o algoritmo R2W atingiu o m\'{\i}nimo global $f_4(420,9687; 420,9687) = -837,9658$ em todas as simula\c{c}\~{o}es feitas. Apesar de o limite de itera\c{c}\~{o}es serem atingidos por ambos m\'{e}todos num\'{e}ricos, o LJ convergiu apenas em uma simula\c{c}\~{a}o para o \'{o}timo global, j\'{a} o m\'{e}todo R2W convergiu para o \'{o}timo em todas as simula\c{c}\~{o}es computacionais, sendo que em $50\%$ das corridas os valores alcan\c{c}ados eram acurados.

\begin{table}[!ht]
\centering
\caption{Resultados obtidos nas simula\c{c}\~{o}es computacionais com a Fun\c{c}\~{a}o 4 atrav\'{e}s dos m\'{e}todos R2W e LJ.}
\small
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline \multicolumn{5}{c|}{R2W} &  \multicolumn{4}{c}{LJ}\\
\hline
 R & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF\\
\hline
\hline
 M & 4,21E+02 & 4,21E+02 & -8,38E+02 & 15000 & 4,21E+02 & 4,21E+02 & -8,38E+02 & 15000\\
\hline
 P & 4,16E+02 & 4,27E+02 & -8,30E+02 & 15000 & -3,03E+02 & -3,03E+02 & -6,01E+02 & 15000\\
 \hline
 $\mu$ & 4,21E+02 & 4,21E+02 & -8,36E+02 & 15000 & -2,74E+02 & 4,48E+01 & -6,63E+02 & 15000\\
\hline
 Med & 4,21E+02 & 4,21E+02 & -8,37E+02 & 15000 & -3,03E+02 & -3,03E+02 & -6,60E+02 & 15000\\
 \hline
  $\sigma$ & 7,74E+00 & 7,94E+00 & 4,23E+00 & - & 2,05E+04 & 1,33E+05 & 4,15E+03 & - \\
\hline
 $\sigma^{2}$ & 2,78E+00 & 2,82E+00 & 2,06E+00 & - & 1,43E+02 & 3,65E+02 & 6,44E+01 & - \\
\hline
\end{tabular}
\label{tab5}
\end{table}

A caracter\'{\i}stica da fun\c{c}\~{a}o $5$, dada pela Eq.~(\ref{eq5}), \'{e} demonstrada na Fig.~\ref{fig7}. Essa fun\c{c}\~{a}o \'{e} semelhante a fun\c{c}\~{a}o $2$, apresenta muitos m\'{\i}nimos locais regularmente distribu\'{\i}dos. Os gr\'{a}ficos da Fig. ~\ref{fig5} descrevem a fun\c{c}\~{a}o $5$ usando duas resolu\c{c}\~{o}es diferentes. A Fig.~\ref{fig5}a) mostra a defini\c{c}\~{a}o completa da fun\c{c}\~{a}o, sendo seu comportamento semelhante \`{a} fun\c{c}\~{a}o $1$. Ao reduzir o dom\'{\i}nio, aproximando-se da \'{a}rea interna, a fun\c{c}\~{a}o apresenta caracter\'{\i}sticas diferenciada, pois apresenta picos e vales suaves parecidos com a da fun\c{c}\~{a}o $2$.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\subfigure[]{\includegraphics[scale=0.45]{F5.ps}}
\hspace{-0.1cm}%
\subfigure[]{\includegraphics[scale=0.45]{CN5.ps}}
\vspace*{-0.4cm}
\subfigure[Amplia\c{c}\~{a}o de (a).]{\includegraphics[scale=0.45]{F5_zoom_New.ps}}
\hspace{-0.1cm}%
\subfigure[Amplia\c{c}\~{a}o de (b).]{\includegraphics[scale=0.45]{CN5_zoom_New.ps}}
%\vspace*{-0.1cm}
\caption{Gr\'{a}ficos demonstrativo do comportamento da Fun\c{c}\~{a}o 5 e suas respectivas curvas de n\'{\i}vel.}
\label{fig7}
\end{figure}

A Tabela ~\ref{tab6} indica que ambos m\'{e}todos analisados obtiveram como a melhor solu\c{c}\~{a}o o m\'{\i}nimo global. Entre todas as simula\c{c}\~{o}es realizadas com a fun\c{c}\~{a}o $2$, aquela que obteve o pior resultado encontrou um dos poss\'{\i}veis m\'{\i}nimos locais. Al\'{e}m disso, o algoritmo LJ alcan\c{c}ou em $86\%$ das simula\c{c}\~{o}es computacionais o m\'{\i}nimo global, j\'{a} o R2W encontrou o m\'{\i}nimo global em $66\%$ dos testes realizados.

\begin{table}[!ht]
\centering
\caption{Resultados obtidos nas simula\c{c}\~{o}es computacionais com a Fun\c{c}\~{a}o 5 atrav\'{e}s dos m\'{e}todos R2W e LJ.}
\small
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline \multicolumn{5}{c|}{R2W} &  \multicolumn{4}{c}{LJ}\\
\hline
 R & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF\\
\hline
\hline
 M & -1,33E-03 & -4,85E-04 & 1,00E-06 & 12000 & -1,69E-03 & 4,40E-04 & 1,00E-06 & 5828\\
\hline
 P & 6,73E-03 & -8,88E+00 & 1,97E-02 & 15000 & -1,26E+01 & 0,00E+00 & 3,95E-02 & 15000\\
 \hline
 $\mu$ & 5,62E-01 & -9,75E-01 & 9,20E-03 & 14940 & -1,19E+00 & -8,87E-02 & 8,43E-03 & 12262\\
\hline
 Med & 3,08E+00 & -1,28E-02 & 8,65E-03 & 15000 & -2,20E-03 & 0,00E+00 & 7,40E-03 & 15000\\
 \hline
  $\sigma$ & 1,35E+01 & 1,86E+01 & 1,16E-05 & - & 1,65E+01 & 1,65E+01 & 8,64E-05 & - \\
\hline
 $\sigma^{2}$ & 3,68E+00 & 4,32E+00 & 3,40E-03 & - & 4,06E+00 & 4,06E+00 & 9,29E-03 & -\\
\hline
\end{tabular}
\label{tab6}
\end{table}

A fun\c{c}\~{a}o $6$ \'{e} definida pela Eq.~(\ref{eq6}). O perfil dessa fun\c{c}\~{a}o est\'{a} demonstrado na Fig.~\ref{fig8}, onde est\'{a} evidenciado os tr\^{e}s pontos m\'{\i}nimos $(x_1, x_2) = (-\pi;12,275), (\pi;2,275)$ e $(9,42478;2,475)$ que levam ao \'{o}timo global $f_6(x_1,x_2) = 0,397887$.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\subfigure{\includegraphics[scale=0.45]{F6.ps}}
\hspace{-0.1cm}%
\subfigure{\includegraphics[scale=0.45]{CN6.ps}}
\vspace*{-0.4cm}
\caption{Gr\'{a}ficos demonstrativo do comportamento da Fun\c{c}\~{a}o 6.}
\label{fig8}
\end{figure}

Na Tabela ~\ref{tab6} \'{e} poss\'{\i}vel visualizar os resultados alcan\c{c}ados pela fun\c{c}\~{a}o $6$. O ponto m\'{\i}nimo $(-\pi; 12,275)$ indicado como caso $1$ foi o mais alcan\c{c}ado pelo m\'{e}todo LJ, mais precisamente em $54\%$ das corridas realizadas, j\'{a} o m\'{e}todo R2W o referido ponto foi alcan\c{c}ado em $42\%$ das simula\c{c}\~{o}es. Para o ponto m\'{\i}nimo indicado no caso $2$, o algoritmo R2W convergiu em $44\%$ das simula\c{c}\~{o}es realizadas, sendo que o LJ convergiu para esse m\'{\i}nimo apenas em $22\%$ das corridas realizadas. No terceiro ponto m\'{\i}nimo $(9,42478;2,475)$ que est\'{a} indicado no caso $3$ foi o menos atingido pelo R2W, ou seja, em apenas $14\%$ dos testes realizados houve a converg\^{e}ncia para o m\'{\i}nimo em quest\~{a}o, mas o LJ convergiu para esse m\'{\i}nimo em $24\%$ das simula\c{c}\~{o}es num\'{e}ricas. O algoritmo LJ atingiu resultados mais acurados e com menos chamada da fun\c{c}\~{a}o objetivo quando compara-se os valores encontrados pelo R2W.

\begin{table}[!ht]
\centering
\caption{Resultados obtidos nas simula\c{c}\~{o}es computacionais com a Fun\c{c}\~{a}o 6 atrav\'{e}s dos m\'{e}todos R2W e LJ.}
\small
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline \multicolumn{5}{c|}{R2W} &  \multicolumn{4}{c}{LJ}\\
\hline
 R & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF & $x_{1}$ & $x_{2}$ & $f(x_{1}; x_{2})$ & NAF\\
\hline
\hline
\multicolumn{9}{c}{\bf Caso 1: $f(-\pi; 12,275) = 0,397887$}\\
\hline
 M & -3,13E+00 & 1,23E+01 & 3,98E-01 & 15000 & -3,14E+00 & 1,23E+01 & 3,98E-01 & 2684\\
\hline
 P & -3,12E+00 & 1,24E+01 & 4,39E-01 & 15000 & -3,14E+00 & 1,23E+01 & 3,98E-01 & 3925\\
 \hline
 $\mu$ & -3,13E+00 & 1,23E+01 & 4,07E-01 & 15000 & -3,14E+00 & 1,23E+01 & 3,98E-01 & 3275\\
\hline
 Med & -3,13E+00 & 1,23E+01 & 4,04E-01 & 15000 & -3,14E+00 & 1,23E+01 & 3,98E-01 & 3369\\
 \hline
  $\sigma$ & 7,96E-04 & 1,24E-02 & 1,18E-04 & - & 4,23E-07 & 4,21E-06 & 5,34E-12 & -\\
\hline
 $\sigma^{2}$ & 2,82E-02 & 1,11E-01 & 1,09E-02 & - & 6,50E-04 & 2,05E-03 & 2,31E-06 & - \\
\hline
\multicolumn{9}{c}{\bf Caso 2: $f(\pi; 2,275) = 0,397887$}\\
\hline
 M & 3,15E+00 & 2,27E+00 & 3,98E-01 & 15000 & 3,14E+00 & 2,28E+00 & 3,98E-01 & 3252\\
\hline
 P & 3,13E+00 & 2,37E+00 & 4,05E-01 & 15000 & 3,14E+00 & 2,27E+00 & 3,98E-01 & 4177\\
 \hline
 $\mu$ & 3,14E+00 & 2,29E+00 & 4,00E-01 & 15000 & 3,14E+00 & 2,27E+00 & 3,98E-01 & 3636\\
\hline
 Med & 3,15E+00 & 2,29E+00 & 4,00E-01 & 15000 & 3,14E+00 & 2,27E+00 & 3,98E-01 & 3777\\
 \hline
  $\sigma$ & 1,83E-04 & 1,40E-03 & 4,14E-06 & - & 8,18E-07 & 1,96E-06 & 5,29E-12 & - \\
\hline
 $\sigma^{2}$ & 1,35E-02 & 3,75E-02 & 2,04E-03 & - & 9,04E-04 & 1,40E-03 & 2,30E-06 & - \\
\hline
\multicolumn{9}{c}{\bf Caso 3: $f(9,42478; 2,275) = 0,397887$}\\
\hline
 M & 9,42E+00 & 2,47E+00 & 3,98E-01 & 15000 & 9,42E+00 & 2,47E+00 & 3,98E-01 & 3522\\
\hline
 P & 9,41E+00 & 2,36E+00 & 4,09E-01 & 15000 & 9,43E+00 & 2,48E+00 & 3,98E-01 & 3828\\
 \hline
 $\mu$ & 9,41E+00 & 2,43E+00 & 4,02E-01 & 15000 & 9,42E+00 & 2,47E+00 & 3,98E-01 & 3736\\
\hline
 Med & 9,42E+00 & 2,43E+00 & 4,01E-01 & 15000 & 9,42E+00 & 2,47E+00 & 3,98E-01 & 3746\\
 \hline
  $\sigma$ & 2,19E-04 & 1,73E-03 & 1,64E-05 & - & 4,95E-07 & 4,82E-06 & 5,73E-12 & -\\
\hline
 $\sigma^{2}$ & 1,48E-02 & 4,16E-02 & 4,05E-03 & - & 7,04E-04 & 2,20E-03 & 2,39E-06 & -\\
\hline
\end{tabular}
\label{tab7}
\end{table}

A Fig.~\ref{fig9} monstra o desvio padr\~{a}o alcan\c{c}ado nas simula\c{c}\~{o}es computacionais. As fun\c{c}\~{o}es $3$ e $6$ apresentam mais de um ponto m\'{\i}nimo que levam ao \'{o}timo global, portanto, o desvio padr\~{a}o demonstrado em F$3_a$ e F$3_b$ foram encontrados atrav\'{e}s da fun\c{c}\~{a}o $3$ e, correspondem, respectivamente, aos pontos m\'{\i}nimos $(-0,0898; 0,7126)$ e $(0,0898; -0,7126)$. J\'{a} os pontos m\'{\i}nimos $(-\pi; 12,275), (\pi; 2,275)$ e $(9,42478; 2,275)$ s\~{a}o alcan\c{c}ados pela fun\c{c}\~{a}o $6$, tendo o desvio padr\~{a}o mostrado em F$6_a$, F$6_b$ e F$6_c$.

N\~{a}o houve muita dispers\~{a}o dos resultados encontrados pelos m\'{e}todos num\'{e}ricos estudados, exceto pelos resultados oriundos das fun\c{c}\~{o}es $2$ e $4$. Para a fun\c{c}\~{a}o $2$, o m\'{e}todo R2W apresentou um desvio padr\~{a}o de $36\%$ maior do que aquele alcan\c{c}ado pelo m\'{e}todo LJ. Entretanto, o LJ apresentou um desvio padr\~{a}o $32$ vezes maior que o alcan\c{c}ado pelo R2W nas simula\c{c}\~{o}es computacionais com a fun\c{c}\~{a}o $4$.

\begin{figure}[!ht]
\centering
\subfigure[Desvio padr\~{a}o.] {\includegraphics[scale=0.45]{DP.ps}}
\hspace{-0.1cm}%
\subfigure[Amplia\c{c}\~{a}o de (a).] {\includegraphics[scale=0.45]{DP_z.ps}}
%\vspace*{-0.4cm}
\caption{Gr\'{a}ficos demonstrativo do comportamento do desvio padr\~{a}o atingidos nas simula\c{c}\~{o}es num\'{e}ricas.}
\label{fig9}
\end{figure}


\section{CONCLUS\~{A}O}

Analisando os resultados obtidos pelas fun\c{c}\~{o}es objetivos, conclui-se que tanto o m\'{e}todo R2W quanto o m\'{e}todo LJ apresentaram bons resultados quando compara-os com a solu\c{c}\~{a}o anal\'{\i}tica.

Para o conjunto de par\^{a}metros adotados, o algoritmo R2W mostrou potencial na estima\c{c}\~{a}o dos \'{o}timos globais das fun\c{c}\~{o}es n\~{a}o-lineares analisadas, sendo esses resultados equivalentes a abordagem inversa LJ.

Na maioria das simula\c{c}\~{o}es, o m\'{e}todo LJ convergiu para o \'{o}timo global fazendo uso de menos avalia\c{c}\~{a}o da fun\c{c}\~{a}o objetivo, isso \'{e} poss\'{\i}vel de concluir quando compara-se o n\'{u}mero de avalia\c{c}\~{a}o da fun\c{c}\~{a}o objetivo feita pelo algoritmo R2W, mas isso n\~{a}o implica em uma grande diferen\c{c}a no tempo de execu\c{c}\~{a}o do programa. Isso ocorreu devido a caracter\'{\i}stica de cada m\'{e}todo num\'{e}rico envolvido nas simula\c{c}\~{o}es computacionais e suas respectivas configura\c{c}\~{o}es. Enquanto o m\'{e}todo LJ realiza o comparativo de suas solu\c{c}\~{o}es de duas em duas e seleciona a melhor, o m\'{e}todo R2W gera todas as suas estimativas (nesse caso {\it S =} $3000$) primeiro para depois selecionar a melhor dentre elas.

O m\'{e}todo R2W alcan\c{c}ou resultados mais acurados atrav\'{e}s das fun\c{c}\~{o}es $4$ e $5$, sendo que a amplitude do dom\'{\i}nio de busca para essas fun\c{c}\~{o}es \'{e} muito superior quando compara-se com as demais fun\c{c}\~{o}es investigadas.

Para trabalhos futuros, uma an\'{a}lise mais detalhadamente sobre o comportamento do algoritmo R2W em dom\'{\i}nios com grande amplitude ser\'{a} realizado, bem como a aplica\c{c}\~{a}o do referido m\'{e}todo em problemas de cromatografia por adsor\c{c}\~{a}o em batelada.


\subsection*{\textit{Agradecimentos}}

\noindent Os autores agradecem o apoio financeiro concedido pela Coordena\c{c}\~{a}o de Aperfei\c{c}oamento de Pessoal de N\'{\i}vel Superior (CAPES), Funda\c{c}\~{a}o Carlos Chagas Filho de Amparo \`{a} Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (FAPERJ) e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient\'{\i}fico e Tecnol\'{o}gico (CNPq).

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\bibliographystyle{plain}
%\bibliography{EngUCPpaper}
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{BIH2012} Bihain, A.L.J., C\^{a}mara, L.D.T. and Silva Neto, A.J., 2012. ``Avalia\c{c}\~{a}o da rotina inversa R2W na estima\c{c}\~{a}o de par\^{a}metros de transfer\^{e}ncia de massa no processo de adsor\c{c}\~{a}o de glicose e frutose``. {\em \textit{ TEMA - Tend\^{e}ncias em Matem\'{a}tica Aplicada e Computacional}}, Vol. 13, No. 3, p.277-289.

\bibitem{BRA2011} Brand\~{a}o, M.A.L. and Saramago, S.F.P., 2011. ``M\'{e}todos estoc\'{a}sticos de otimiza\c{c}\~{a}o: algoritmos gen\'{e}ticos e evolu\c{c}\~{a}o diferencial``. Notas em Matem\'{a}tica Aplicada: SBMAC, Vol.55, S\~{a}o Carlos, SP.

\bibitem{CAM2008} C\^{a}mara, L.D.T. and Silva Neto, A.J., 2008. ``Inverse stochastic characterization of adsorption systems by a Random Restricted Window (R2W) method''. In {\em \textit{International Conference on Engineering Optimization - Eng Opt2008}}. Rio de Janeiro, Brazil.

\bibitem{LOB2008} Lobato, F.S. and Steffen Jr, V., 2008. ``Algoritmo de Luus-Jaakola aplicado a um problema inverso de fermenta\c{c}\~{a}o batelada alimentada''. {\em \textit{ TEMA - Tend\^{e}ncias em Matem\'{a}tica Aplicada e Computacional}}, Vol. 9, No. 3, p.417-426.

\bibitem{LUU1973} Luus, R. and Jaakola, T.H.I., 1973. ``Optimization by direct search and systematic reduction of the size of search region''. {\em \textit AIChE Journal}, Vol. 19, No. 4, p.760-766.

\bibitem{MOL2005} Molga, M. and Smutnicki, C., 2005. ``Test functions for optimization needs''. 3 kietnia 2005.

\bibitem{RIB2012} Ribeiro, M.A.C., 2012. {\em Modelagem e avalia\c{c}\~{a}o comparativa dos m\'{e}todos Luus-Jaakola e R2W aplicados na estimativa de par\^{a}metros cin\'{e}ticos de adsor\c{c}\~{a}o}. MSc. Disserta\c{c}\~{a}o, Instituto Polit\'{e}cnico, UERJ, Nova Fribrugo, RJ.

\bibitem{RIB2012b} Ribeiro, M.A.C., C\^{a}mara, L.D.T. and Silva Neto, A.J., 2012. ``M\'{e}todo estoc\'{a}stico R2W na obten\c{c}\~{a}o de \'{o}timos globais de equa\c{c}\~{o}es n\~{a}o-lineares''. In {\em \textit{XXXIV Congresso Nacional de Matem\'{a}tica Aplicada e Computacional - CNMAC2012}}. \'{A}guas de Lind\'{o}ia, SP, p.555-556.

\bibitem{RIB2013} Ribeiro, M.A.C., C\^{a}mara, L.D.T. and Silva Neto, A.J., 2012. ``Compara\c{c}\~{a}o das rotinas inversas LJ e R2W na estima\c{c}\~{a}o de par\^{a}metros cin\'{e}ticos em batelada''. In {\em \textit{XVI Encontro de Modelagem Computacional / IV Encontro de Cin\^{e}ncias e tecnologia de Materiais / III Encontro Regional de Matem\'{a}tica Aplicada e Computacional - EMC2013 / ECTM2013 / ERMAC2013}}. \'{A}guas de Lind\'{o}ia, SP, p.555-556.

\bibitem{SAR2003} Saramago, S.F.P., 2003. ``M\'{e}todos de otimiza\c{c}\~{a}o rand\^{o}mica: algoritmos gen\'{e}ticos e simulated annealing``. Notas em Matem\'{a}tica Aplicada: SBMAC, Vol.6, S\~{a}o Carlos, SP.

\bibitem{SIL2003} Silva Neto, A.J. and Becceneri, J.C., 2003. ``T\'{e}cnicas de intelig\^{e}ncia computacional inspiradas na natureza - aplica\c{c}\~{a}o em problemas inversos em transfer\^{e}ncia radiativa``. Notas em Matem\'{a}tica Aplicada: SBMAC, Vol.41, S\~{a}o Carlos, SP.

\end{thebibliography}

\end{document}